Интегрируемость СИЗОПа

Если $f(x, y)$ непрерывна на $[a, b] \times [c, d]$, то $f(x, y)$ интегрируема, и $$ \int_{a}^{b} \left( \int_{c}^{d} f(x, y) \, dy \right) \, dx = \int_{c}^{d} \left( \int_{a}^{b} f(x, y) \, dx \right) \, dy $$

Интегрируемость следует из непрерывности. Рассмотрим $\Phi(x, y) = \int_{c}^{y} f(x, t) \, dt$, $\Phi'_{y}(x, y) = f(x, y)$. $$ \left( \int_{a}^{b} \Phi(x, y) \, dx \right)'_{y} = \int_{a}^{b} \Phi'_{y}(x, y) \, dx = \int_{a}^{b} f(x, y) \, dx $$ $$ \int_{c}^{d} \left( \int_{a}^{b} \Phi(x, y) \, dx \right)'_{y} \, dy = \int_{c}^{d} \left( \int_{a}^{b} f(x, y) \, dx \right) \, dy $$ $$ \int_{c}^{d} \left( \int_{a}^{b} \Phi(x, y) \, dx \right)'_{y} \, dy = \int_{a}^{b} \Phi(x, d) \, dx = \int_{a}^{b} \left( \int_{c}^{d} f(x, y) \, dy \right) \, dx $$